TRABAJO MATEMATICA 13 2016

SERIE TAYLOR y MACLAURIN En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define como la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de gradol, 3, 5, 7, 9, 11 y 13. Aquí, n! es el factorial de ny f indica la n- ésima derivada de f en el punto a. Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie co verge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.

Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie s n necesariamente los determinados en la fórmula de la serie d aylor. Si a = O, a la serie se le llama serie de Maclaurin. Esta representación tiene tres ventajas importantes: La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales. Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función. Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible. Algunas fu

Swipe to kdew next page K0MaHAa I ecwposawe OKHO Cnpa3Ka funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véaseSerie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(-1/x2) se puede desarrollar como serie de Laurent. SERIE LANGRAJE permite obtener la expansión en serie de Taylor de la función inversa de una función analitica. Si la dependencia entre las variables w y z se encuentra definida de forma implícita mediante una ecuación del tipo donde f es analitica en un punto ay f ‘(a) * O.

Entonces es osible invertir o resolver la ecuación para w: donde g es analítica en el punto b = f(a). Esto es también denominado reversión de series. La expansión en serie de g es Esta fórmula también vale para series de potencia formales y puede ser generalizada de varias maneras. Puede ser formulada para funciones de varias variables, puede ser extendida para cubrir el caso F(g(z)) para una función analitica F, y puede ser generalizada para el caso f ‘(a) = 0, donde la inversa g es una función multivaluada. METODO DE LA ROSA ROSAS ROSA DE CUATRO HOJAS/PETALOS Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétal llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. UNA ROSA DENTRO DE OTRA.

ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada: METODO DE LOS CARACOLES CON Y SIN RISOS: LIMACONES O CARACOLES Limaçon viene del latín limax que significa caracol. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma: r = 1 + b cos Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior.

La función para este gráfico es la siguiente: Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos: Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro ipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia ráfico que resulta, el cual la izquierda.

Veamos a con 3 apunta hacia la izquierda: gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda: Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha: Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol onvexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente: ECUACION DIFERENCIAL POR VARIABLE SEPARABLE: Ecuaciones de primer grado por variables separables Se dice que una ecuación diferencial se puede separar si es posible escribir la ecuación en la forma El factor integrante , es decir, si multiplicamos esta expresión por esta cantidad tendremos lo cual resulta fácil de integrar siendo una función de la variable x y una función de y, Sin embargo, para la obtención de la solución es importante considerar si las funciones son integrables. Ejemplo de variables separables . Encontremos la solució ión diferencial siendo M(x,y), N(x,y) funciones de las variables x, y, tales que se verifica: {26} En este caso, el miembro izquierdo de {25} podrá expresarse como la diferencial de una cierta función u(x,y), es decir, se tendrá la identidad: {27} la razón de ello es que en {25} podemos realizar la siguiente identificación: {28} y entonces la condición {26} equivale a la igualdad de las derivadas mixtas: En definitiva, si podemos hallar una función que cumpla las dos condiciones {28} , entonces la ecuación diferencial {25} podrá expresarse simplemente: du=o {25′} su solución general será simplemente: {29} MÉTODO DE RESOLUCIÓN: Para una ecuación diferencial exacta, hallar la solución general se reduce a hallar la función de {29} . Esta función la hallaremos según los dos siguientes pasos: i) Partimos de la primera condición de {28}, esto es: de donde tenemos: du = M dx, expresión que pasamos a integrar: aunque hay que tener en cuenta que al integrar respecto a x una función de dos va iables, tal como la las se comportan como una constante, por tanto, en lugar de aparecernos una constante de integración C, en este caso nos aparecerá una función en y, que la expresaremos por 00′). Para expresar esto podemos escribir: {30} 5 Para conocer esta Ü(v) deb siguiente paso. podemos escribir: Para conocer esta Ü(y) debemos dar el siguiente paso. i) A partir de la segunda condición de {28}, esto es: igualamos a la derivada respecto de y de la función tal como la tenemos en {30} : {31} Finalmente despejaríamos de aqui supongamos para luego poder hallar integrando esta función F: {32} Ahora sí que tendríamos completamente determinada la función u(x, y), entonces la solución general de la ecuación diferencial total es: LI(X, Y) = C ECUACION DIFERENCIAL DE VARIABLE HOMOGENEAS: Las ecuaciones diferenciales en la forma: {12} con a, b, c, m, n , p constantes, no son ecuaciones diferenciales homogéneas, sin embargo se reducen fácilmente a ellas realizando el cambio: con h y k unas constantes a determinar, de esta manera tenemos: dxl , dyl y por tanto la ecuación queda así: {13} Ahora determinamos los coeficientes h y k de tal manera que los paréntesis de arriba se anulen, es decir, conseguimos que: {14} Para ello resolvemos el sistema {14} para hy k. Por lo que finalmente tenemos que {13} se habrá convertido en la ecuación diferencial homogénea: Tras resolverla, se sustitu es de xl=x+h, vl=v+k en