Razonamiento y representacion matematica Sy anaxael HOR6p$l IS, 2011 7 pases RAZONAMIENTO Y REPRESENTACION MATEMATICA COMPOSICION DE FUNCIONES PRESENTADO POR: JAIME PEREZ ASSIA DOCENTE: EUGENIA UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA 2011 or7 COMPOSICIÓN DE F 10 Una función «f (x)» lo r numeros «x» en nuevos números que designamos por «f(x)». A veces sobre un elemento x actúa primero una función «f» y, después, sobre su imagen vuelve a actuar otra función iig’i. por ejemplo si f(x) – x2 y g(x) = 2×41, veamos que sucede con le número 2 al actuar primero f y luego g sobre la imagen obtenida. (4) g. Resumiendo hemos pasado del 2 al número 9. Esta nueva función que se obtiene haciendo actuar primero f y luego g se llama «f compuesta con g» y se escribe: «gof». Lo que hemos hecho con el número 2 se suele escribir de la siguiente forma: = g(f(2)) = g(4) = 9. Para un número «x» cualquiera tenemos: = = g(x2) – 2X2 1. Halla y cuando a) f(x) = 1/x y b) f(x) —2×2-X y g(x) en la elección del lugar donde se sitúan los paréntesis, se pueden omitir con seguridad. Las funciones g and f conmutan entre ellas si gof= fag.
FUNCION INVERSA Dada una función , se llama función inversa de y se denota por a tra función que para cualquier valor del dominio de se cumple que: No todas las funciones tienen inversa, para que exista se tiene que cumplir que para cada valor del recorrido de f , proviene de un único valor del dominio Las gráficas de una función y su inversa son simétricas con respecto a la recta y=x FUNCIÓN CRECIENTE Una función f (x) es creciente en un intervalo (a, b) si satisface que Si una función es creciente en (a, b) entonces I En efecto, si h ; Oy nos aproximamos por la derecha dex I y si h; Oy nos aproximamos por la izquierda dex I En cualquier caso, la derivada es no negativa.
Por lo demás es un resultado intuitivamente cierto toda vez que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a dicho punto. Observe la gráfica de la columna derecha. FUNClÓN DECRECIENTE Una función f (x) es decreciente en un intervalo (a, b) si satisface Si una función es decrecie entonces I entonces En efecto, si h ; 0 y nos aproximamos por la derecha dex I y si h; 0 y nos aproximamos por la izquierda dex I Observe la gráfica de la columna derecha. FUNCIÓN PARSe dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que los alores de x en la escena y observa lo que sucede con los valores de f(x) y de f(-x). Al modificar los valores de x en la gráfica, la escena muestra también los valores de -x, de f(x)y de f(-x).
Como has podido notar, la gráfica es simétrica con respecto al eje y, puesto que para todo valor x del dominio de la función se verifica que IMPAR Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que Modifica los valores de x en la escena y observa qué sucede con los valores de (x) y de f(- x). Al ir modlficando los valores de x la gráfica muestra también los alores de -x, de f(x) y de f(-x). Observa que para cualquier valor del dominio, Habrás notado además que el segmento que une los puntos Pl y P siempre pasa siempre p Habrás notado además que el segmento que une los puntos Pl y P siempre pasa siempre por el origen, punto del cual equidistan. Todas estas funciones simétricas con respecto al origen de coordenadas, en las que se verifica que se denominan funciones impares. FUNClÓN POLINOMICAuna función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).
Formalmente, es una función:donde es un polinomio definido para todo número real ; es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales, de la forma:l FUNCION CONSTANTE En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma el mismo valor para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma:l Donde c es la constante. FUNCIÓN LINEAL El término función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes. En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de rimer grado. Es decir, una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta. Esta función se puede escribir como Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cam de la recta con el eje y.
Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arrlba o abajo. FUNCIÓN CUADRATICA En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica de grado dos definida como: En donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de O. La representación gráfica en el plano KY haciendo: Esto es: FUNCION EXPONENCIAL La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2. 71 828…. Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su denvada es la rmsma función.
Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural. En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma FUNCION RAZIONAL Una función racional es una función que puede ser expresada de la forma: Donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las fu ales están definidas o SI_IF,• tienen su dominio en siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio en todos los valores de x que no anulen el denominador. La palabra «racional» hace referencia a que la función racional es na razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no. Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos. FUNCIONES TRANSCENDENTE Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinomial cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; sto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación. En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raices. Una función de una vanable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable. FUNCIÓN LOGARÍTM CA Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones ogarít Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funcion s logaritmicas. Como la notación fl se utiliza para denotar u na función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-l(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el «logaritmo de x con base b», y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo.
FUNCION ABSOLUTA Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. k Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. * Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. * Representamos la función resultante. FUNCIÓN ESCALONADA Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito [a, bl en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades cl ; c2 ;… ; cn, y en cada intervalo] ck, ck+l[es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos ck.
