Punto fijo de schauder

Teorema del Punto Fijo de Shauder Diciembre 2010 Sea K un subconjunto convexo y compacto de un espacio de Banach X y f: K K continua. Entonces f tiene por lo menos un punto fijo en K. Demostraci•n: o Dado E > 0 3FE = {XI Vx G K axj FE tal que: x —xj < E Sea h. K co (FE) una funci'n continua construida como antes. o Denotemos por g = h f , asi tenemos el siguiente diagrama. K @ ors to View nut*ge Swp to page Como K es convexo s iene continua, pero co(FE o luego Sp{xl , xN EC K. l co(FE ) es de dimensi'n finita, M s N , as' como co(FE ) es cerrado I y convexo, entonces co(FE ) es Homeomorfo una bola E M , por consiguiente glco(FE ) tiene un punto fijo x E co(FE h (f C)) x x x pero sabemos que: g(¯) — h — h — x — f < E x x x x xx¯x (por el lema anterior) Por lo tanto si E = m E N, encontraremos que: 1 {xm } c Kf(xm xm m Vm EN Ahora siendo K compacto (xms ) C {xm l, subsucesi' n co convergente, a un o punto xo K, Ademas tenemos; f (xms ) — xo f (xms ) — xms + xms — xo lim f (xms ) = f lim xms = f (xo ) y por lo tanto xo f (xo ) Lema. Lema De Mazur) Sea un espacio de ganach X, con K c X compacto. Entonces co(K), es compacto. Demostraci n. o por definici n de co(K) se deduce que co(K) es cerrado y como co(K) c X, o con X completo tenemos entonces que co(K) es completo. Recordar : Y es compacto (Y, d) Y es completo y totalmente acotado. S • lo resta probar que co(K) es totalmente acotado, esto es O dado O, -381 (JI , E), BN (CON , E) con ECO(K), i = 1, .

N tal que: co(K) c Por definici’ n de co(K) o RI_IFS bjzj- h(zj ) d (z, co(FE < E Yz co(K) Asi tenemos que co(FE ) es cerrado y acotado,en un subespacio de dimensi' n o finita, luego co(FE ) es compacto, entonces existe n n" mero finito de bolas u VEk (zk)l s ks m, zk E co(FE) VEk (Zk ) esto quiere decir que dado z E co(FE ) 3ko 1, m tal que: - do, zko ) < E, zo co(FE ) z De (1) resulta que dado z co(FE ), d(z, z) < y por (2) concluimos ; d(z, zko ) < d(z, z) + zko ) < 2E ¯ z Resumiendo; dado z E co(FE ) existe un n' mero finito de bolas u VEk (zk) 1 < ks m; zk co(FE ) C co(K) tales que: k V2E ) y por lo tanto co(K) es compacto Corolario.

Sea X un espacio de Banach y S C X cerrado, ac exo,f: S S continua 31_1fS con f (S) compacto, entonc enos un punto fijo en S (S) C S (Teo. del punto fijo de Shauder) 1. 1 Ejemplos Ejemplo Sea R Ejercicios un intervalo compacto, X — C (l, Rn ) [es un espacio de Banach], f sup Fijamos a > 0, M > Oy consideramos; K = f EX: say It-t t, t El — K convexo, cerrado y compacto.

En consecuencia; x = f (x, t) xo = xo (to ) posee al menos una soluci’ n (en verdad es unica) o – Sean f, g E -r) 1401 sra+(l- l(rf + (1 (rf+(l por lo tanto K es convexo. – Sea {fn} c K tal que lim fn —f = O f *Ifn lim Ifn I = Iflsa Por lo tanto K es cerrado – por la definici ‘ n de K se observa que es una amilia equicontinua y acota, o sea {fn ) c K, por el teorema de Arzel•-Ascol’ 3{fns } c {fn} tal que a I s {fns} f uniformemente en cada subintervalo compacto de . ?? Por lo tanto K es compacto. 406 S es compacto. 1. 2 12 Sea X -C (1-1, 1], X definida por: (T f) (t) —f 2 (t) + Probar que T tiene un unico punto fijo fo E X tal que 1 ‘ X es un espacio de Banach. T (fo ) = fo (T 0 fo fo (t), te [—1, 22 fo (t) +1 -t2 = foco – 2fo (t) +1 -t2 tl como fo debe verificar fo (t) s 2 . 3 – Itl La siguiente ecuacion no lineal, tiene solucion, en K con I — x(t) = SÜFS