PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO 1 gy pxt0297m cbenpanp I S, 2016 13 pagcs Universidad Técnica de Manabí Instituto de Ciencias Básicas Departamento de Matemáticas y Estadísticas PROYECTO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO III Autores: Cárdenas Macías Patricio Mendoza Zambrano Fredy Romero Zambrano Cristopher Suarez Paredes Jordana Vera Pàrraga Nixon Asignatura: Análisis Matemático III Docente: Ing. José Gu Paralelo: «D» to View nut*ge Periodo: Octubre / INDICE TEMA 3 OBJETIVOS 4 OBJETIVO GENERAL4 OBJETIVOS ESPECIFICOS 4 JUSTIFICACION 5 MARCO TEORICO 6 MOVIMIENTO ARMÔNICO SIMPLE6
COMBINACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 7 EN FUNCIÓN DE LA AMPLITUD Y LA FASE 8 RELACION CON LA COMBINACION LINEAL 8 las ecuaciones diferenciales. 3. JUSTIFICACION El tema propuesto hace énfasis y se hace significativo por los ejemplos de ecuaciones diferenciales que sirvieron y sirven de instrumento para estudiar los cambios, analizar y predecir con un mismo cuerpo de leyes, los sistemas físicos en movimiento.
El movimiento armónico simple es uno de los movimientos idealizados más importante, pues constituye una buena aproximación a muchas de las oscilaciones que se dan en la aturaleza y es muy sencillo de describir matemáticamente Lo que se quiere lograr con esto es que en los actuales planes de estudio entre otros, este el objetivo de integrar las asignaturas de matemática con el resto de las áreas y materias, mejorar el rendimiento de los estudiantes en dichas asignaturas y disminuir la dificultad de estos en recuperar los conceptos matemáticos en otros contextos.
Resulta de g an importancla fusionar el estud10 de la física con las matemáticas, para así llegar a un consenso más exacto de que existen aplicaciones físicas para ecuaciones iferenciales y que su estudio está estrechamente ligado a las exigencias que revisamos 3 directamente proporcional a la posición, y que queda descrito en función del tiempo por una función senoldal (seno o coseno). Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila de un lado al otro de su posición de equilibrio, en una dirección determinada, y en intervalos iguales de tiempo. El movimiento armónico simple (o, abreviadamente, M.
A. S. ) es el descrito por una partícula que se mueve a lo largo de una recta verificando la ley de Hooke Por tratarse de un movimiento rectilíneo, puede reducirse el movimiento a una sola componente De forma que la ecuaclón de movimiento se reduce a: La solución de esta ecuación diferencial, con las condiciones iniciales es la forma general de un movimiento armónico simple. COMBINACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Para resolver la ecuación de movimiento de un oscilador armonico, empleando técnicas elementales, observamos que trata de hallar una función cuya segunda derivada sea proporcional a la propia función.
Es fácil encontrar dos funciones que cumplen esta condición: Por simple sustitución comprobamos que se cumple: Ninguna de estas dos soluciones particulares puede ser la solución general, ya que no cumplen las condiciones iniciales del movimiento. Sin embargo, una combinación lineal de ellas lo es. Multiplicando cada una por una constante y sumando, tenemos que: resultar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la solución queda completamente determinada. Por tanto, la forma general del movimiento armónico simple es Derivando esta ecuación obtenemos la velocidad instantánea Imponiendo las condiciones iniciales obtenemos ay b.
De la posición inicial: y de la velocidad inicial: Con lo que la solución general, en función de la posición y la velocidad inicial es: EN FUNCIÓN DE LA AMPLITUD Y LA FASE Una forma alternativa de escribir la solución general del movimiento armónico simple es: Donde Ay cp son dos constantes que se pueden obtener a partir de las condiciones iniciales. Estas dos constantes, dada su importancia, poseen nombre propio: A es la amplitud. es la constante de fase (siendo la fase del movimiento) RELACION CON LA COMBINACION LINEAL Es sencillo demostrar la equivalencia entre las dos expresiones e la solución general.
Aplicando la expresión del coseno de una suma Obtenemos: 40F 13 constante de fase cp PARÁMETROS DEL MOVIMIENTO El M. A. S. se caractenza por tanto, por una serie de magnitudes físicas, que son las siguientes: Elongación Es la propia variable x, esto es, la separación instantánea de la partícula oscilante respecto a su posición de equilibrio. En el SI se mide en metros. Frecuencia angular Da la proporcionalidad entre el tiempo y la fase. En el SI se mide en rad/s o simplemente s-l. Periodo T 211 / Es el tiempo necesario para que el oscilador vuelva a la misma osición y velocidad.
Se mide en segundos en el SI. Frecuencia natural La inversa del periodo, indica cuantas oscilaciones se producen en la unidad de tiempo. Se mide en hercios (Hz) o ciclos/s. Es proporcional a la frecuencia angular, f = / 2Tt. Amplitud Es la elongación máxima, esto es, la máxima separación del oscilador respecto a la posición de equilibrio. Puede obtenerse a partir de la posición y velocidad iniciales. Se mlde en metros. Fase Indica el punto del ciclo en uentra la partícula, s 3 variando desde O a 21-1 radi elongación de la partícula. Se mide en metros.
POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN UN M. A. S Existe otra forma alternativa de expresar el movimiento armónico simple, mediante el uso de amplitudes complejas o fasores. Partiendo de la fórmula de Euler se tiene: Aplicando esto a la solución del M. A. S obtenemos la relación Donde Es el fasor de x. Es una cantidad compleja constante cuyo módulo es la amplitud de las oscilaciones y cuyo argumento es la constante de fase. El producto es un vector rotatorio en el plano complejo cuya parte real nos da la posición instantánea de la partícula.
En términos de las condiciones iniciales, la amplitud compleja es La velocidad y la aceleración admiten expresiones fasoriales análogas Siendo sus fasores Multiplicando cada una de estas amplitudes complejas por ejwt y hallando su parte real obtenemos la velocidad y la aceleración instantáneas como función del tiempo. MOVIMIENTOS ARMÓNICOS SIMPLES EN SISTEMAS AMORTIGUADOS MOVIMIENTO LIBRE AMO ecuación diferencial viene dada ahora por: Sistema críticamente amortiguado Si c 2 — 4km 0, tendremos como solución de la ecuación característica una ra[z real doble, À – c 2m.
En este caso, la olución de viene dada por: 5. EJERCICIOS DE APLICACIÓN: Ejercicio 1 Una partícula que vibra a lo largo de un segmento de 10 cm de longitud tiene en el instante inicial su máxima velocidad que es de 20 cm/s. Determina las constantes del movimiento (amplitud, fase inlcial, pulsación, frecuencia y periodo) y escribe las expresiones de la elongación, velocidad y aceleración. Calcula la elongación, velocidad y aceleración en el instante t = 1,75 s. ¿Cuál es la diferencia de fase entre este instante y el instante inicial? Solución: La amplitud es igual a la mitad del segmento recorrido: A — m.
Las expresiones generales de la elongación y de la velocidad son. Como en el instante inicial la velocidad es máxima, se tiene que la fase inicial es: Del valor de la máxima vel ucen el resto de las constantes del movimient Las expresiones generales de la elongación y de la velocidad son: x A sin (wt + v = Au_) cos (wt Multiplicando la primera expresión por y elevando al cuadrado ambas expresiones se tiene: Sumando y operando: El signo doble se debe a que la trayectoria se puede recorrer en ambos sentidos en una misma posicion. EjerciCi0 3 Un resorte se alarga 4 cm cuando se cuelga de el un objeto de 0 kg de masa.
A continuación, se estira el resorte 3 cm más y se le deja que oscile libremente. Determina el periodo y la pulsación del movimiento. Calcula los valores de la elongación, velocidad, aceleración y dureza elástica a los 2,1 s de iniciado el movimiento. ¿Cuál es la diferencia de fase entre este instante y el instante Aplicando la ley de Hooke: El periodo del movimiento y la pulsación son: El movimiento comienza en el punto más bajo de la vibración, por ello si para su descripción se utiliza la función sn c), entonces la fase inicial es = 3 Tt/2 rad.
Las expresiones de la elongación, velocidad, aceleración y fuerza elastica y sus valores a los 2,1 s de iniciado el movimiento son: 13 la energ’ la mec ‘ anica del oscilador se conserva: Sustituyendo, se tiene que la velocidad en la posición x = 2,5 cm = 2,5 *m es: Cuando la part[cula se aleja del origen su velocidad es positiva y cuando se dirige al origen su velocidad tiene el signo negativo.
Ejercicio 5 Un pedazo de plastilina, de 40 g de masa, se mueve con velocidad de 100 m,’s y choca, quedando incrustada, en un bloque de madera de 1 kg de masa que esta en reposo. El bloque esta unido un muelle que se contrae 20 cm- Si no hay rozamiento entre el suelo y el bloque, determina la velocidad inicial del conjunto, la constante elastica del muelle y el periodo de oscilacion del movimiento vibratorio generado. Durante el choque se conserva la cantidad del movimiento del conjunto.
Después del choque, el conjunto formado por la plastilina y el bloque de madera contrae el muelle, la fuerza elástica detiene al conjunto y la energía cinética se almacena en forma de energía potencial elástica en el resorte. Una vez que el bloque se detiene, la fuerza elástica obliga al loque a describir un movimiento vibratorio armónico simple de 20 cm de amplitud, durante el cual la energ[a mecánica del conjunto permanece constante. Se elige un sistema de referencia con el eje X la horizontal y origen en el punto en el que se produce el impacto.
Aplicando la ley de la conservación de la cantidad de movimiento en el instante del choque y como el bloque está inicialmente en reposo, se tiene: Mp = (mp + mb) — = 3,85 m/s La energía cinética de I está inicialmente en reposo, se tiene: – = 3,85 mis La energía cinética de la plastilina y del bloque de madera se mplea en contraer el resorte: (mp + mb) v2 = kx2 k- – 385,4 N,’rn El periodo del movimiento es: 0,33 S Ejercicio 6 Un péndulo esta calibrado para realizar una oscilacion completa en 1 s en un lugar en el que la aceleracion de la gravedad es g = 9,8 m/s2 . ?Cuánto retrasara o adelantara al cabo de un día cuando se traslade a un lugar en el que la aceleracion de la gravedad es g = 9,7 m/s2? Sea A el punto en el que el péndulo realiza una oscilación completa en 1 s. Al trasladarlo al punto B, en el que la aceleración de la gravedad disminuye, entonces el periodo del péndulo se ace mayor, por lo que se retrasa en la medida del tiempo.
Los distintos periodos del péndulo en los lugares A y B son: = 0,9949 Por lo que: 0,9949 – 1,00515 El péndulo colocado en el lugar 3 indica que ha transcurrido 1 s cuando en realidad han transcurrido 1,0051 s, por lo que se retrasa 0,0051 s en cada segundo. El retraso al cabo de un dra es: retraso = 0,0051 • 24 3600 = 7 min21 s Ejercicio 7 Un objeto de 1,4 kg de masa se une a un muelle de constante elastica 15 N/m. Calcula la velocidad maxima del objeto cuando el sistema vibra con una a cm. ¿Cual es el valor de las energias cinetica V Ica cuando el obieto se
