Investigación en educación matemática y sus fundamentos filosóficos Resumen: Existen diferentes posturas en relación con la actividad y naturalezade las matemáticas. Éstas están implícitas tanto en los programas de investiga-ción en educación matemática como en la práctica docente de esta área delsaber. En este trabajo se hace un breve análisis de los discursos filosóficos másprominentes y su relación con algunos de los principales programas de investi- gación en educación matemática.
Finalmente, se reflexiona acerca de cómo im-pactan dichos discursos en las perspectivas sicopedagógicas que se siguen en Iaenseñanza de las matemáticas. Palabras clave: filosofía de las mate matemáticas,investig de las matemáticas, IntRodUcclón Los estudios en educ 6 on ucativa, enseñanza entre sus objetivos la búsqueda deestrategias o metodologías que puedan favorecer el aprendizaje de las matemáti-cas escolares.
Las propuestas que emanan de estos estudios implican posiciones filosóficas acerca de la propia naturaleza de las matemáticas que raras veces sehacen explícitas. El propósito de este ensayo es presentar, de manera muy sintética y sinpretensión de establecer un debate ntre ellas, las posiciones filosóficas que sub- yacen en algunos de los programas de investigación en educación matemática. A partir de ello, y recuperando los discursos de la psicopedagogía, se reflexionaacerca de las posibles implicaciones para la enseñanza de esta disciplina.
POStURAS En FILOSOFÍA dE LAS MAtEMátlCAS Varios investigadores, como por ejemplo Ernest (1994, 1996, 2004), Moslehian(2003, 2004), Handal (2 (2003), Alemán (2001 Sierpinska y Lerman (1996) y Ty-moczko (1994), entre otros, han reflexionado desde la perspectiva de la educaciónmatemática acerca de las distintas posturas filosóficas ue hay en relación con lanaturaleza de las matemáticas. A partir de los trabajos de estos investigadores, se pueden ubicar esencialmen-te dos grandes tendencias filosóficas acerca de la naturaleza de las matemáticas:las así denominadas modernistas y las posmodernistas.
Siguiendo a Handal(2003), Ernest (1994), Skovsmose (1996) y Alemán (2001), podríamos situar entrelas tendencias modernistas las posturas absolutistas, fundacionalistas, modernas,monológicas y descriptivistas ; mientras que entre las tendencias posmodernis-tas estarían las posturas falibilistas cuasi-empiricistas, posmodernismo, dialógicas las no descriptivistas . Daremos a continuación una breve descrip-ción de cada una de ellas.
APROXIMACIonES VIOdERnlStAS Dentro de este grupo se sitúan las posturas absolutistas, fundacionalistas,modernas, monológicas 2 6 como ideal lograr un conocimiento matemático basado en pruebasimpecables. 4. Las propiedades lógicas de las pruebas matemáticas son suficientes para establecer el conocimiento matemático sin necesidad de la mediación social. Estas posturas, expresa Ernest (1994), tienen un carácter eminentementemonológico y están fundadas en la racionalidad cartesiana y el modernismo.
Por otra arte, el fundacionalismo, siempre siguiendo a Ernest (1994), incluyeel logicismo formalismo Y el intuicionismo , movimientos muy populares en laprimera mitad del siglo pasado, que trataron de reconstruir una estructura racionaldel pensamiento, fuera de todo cuestionamiento, con base en un plan maestro: elparadigma euclidiano. Pero, como señala Ernest (1994), esta aproximación se viocuestionada, por una parte, por la propia imposibilidad de lograr sus objetivos y,por la otra, por el propio trabajo de los matemáticos que derribaron las limitacio- nes impuestas por este paradigma.
Handal (2003), por su parte, escribe el logic•smo como una forma de realis-mo platónico, en el cual las matemáticas son vistas como un conjunto de domi-nios abstractos que existen externamente a la creación humana. Los conceptospueden reducirse a propiedades abstractas que pueden derivarse mediante prin-cipios lógicos. Señala que esta postura fue cuestionada, ya que su obsesión por un estricto razonamiento lógico deja fuera a la intuición y la conjetura, las cualesparecen ser poderosas generadoras del pensamiento creativo. or otra parte y siguiendo a Handal (2003), el 26 comparte con ellogicismo sta lógico; sin embargo, enera también a través de la manipulación de símbolos, opera- ciones prescritas por un conjunto de reglas y fórmulas, las cuales son aceptadasapriorísticamente. Por último, el concibe el conocimiento matemático como elresultado de una actividad mental regulada por leyes naturales. La denominación de visiones o aproximaciones monológicas dialógicas, pro-puesta por Ernest (1 994), surge empleando la metáfora de la conversación.
Esteautor considera que su adopción tiene un fundamento doble: el primero se basaen la suposición de Wittgenstein de que «las formas de vida» son compartidas por las ersonas a través de actividades en común que actúan sobre el mundo,ontológicamente primitivas, una condición sine qua non de la vida humana; elsegundo considera que el discurso y el lenguaje (desplegado en juegos del len-guaje de Wittgenstein) desempeñan un papel esencial en la génesis, adquisición,comunicación, formulación y Justificación de virtualmente todo el conocimiento,incluido el matemático.
De manera particular, la visión monológica asume que las pruebas matemá-ticas se basan en una fundación unica y firme, y que ni la conversación ni eldiálogo o la dialéctica son necesarios. Cabe señalar que Skovsmose (1994, pp. 203-205) afirma que la postura pia-getiana cae dentro de esta aproximación monológica, ya que el desarrollo del pen-samiento, y específicamente del pensamiento matemático, obedece a lo que Piaget denomina la abstracción reflexiva o reflexionante, que el sujeto epistémico realizade manera aislada y no requiere la comunicación con otros.
Ello implica que lafuente del desarrollo del conocimiento es la deducción por el racionalismo y la in- ducción por el empirismo. ra el constructivismo de 4 6 Piaget viene a se racionalismo y la in-ducción por el empirismo. De esta manera el onstructivismo de Piaget viene a ser monólogico. No obstante, otros autores, como por ejemplo Handal (2003), argu-mentan que la posición constructivista caería dentro de las posturas falibilistas ocuasi empíricas. En lo que respecta al modernismo, se puede señalar que surge con la filosofíacartesiana, en la cual se privilegia la razón para tener acceso al conocimiento.
Estapropuesta se constituye en una búsqueda de algo que pueda sustentar la verdaddel conocimiento. En esta línea, Kant (1724-1804) proponía que la lógica racionalera el fundamento de la verdad, y su propuesta sostuvo, y a su vez consolidó, osprincipios lógicos aristotélicos. según Moslehian (2004, p. 3), las posturas modernas o modernistas tienencomo componentes: a) su racionalismo, es decir, que el conocimiento puede lo-grarse mediante la razón; b) su empirismo, que indica que el conocimiento puedelograrse mediante el método científico; y su materialismo, que se refiere a lacreencia en un universo puramente físico.
Componentes derivados de las pro-puestas cartesianas y kantianas. Por otra parte, Alemán (2001 , pp. 15-45) argumenta que las posturas descrip- tivistas, las cuales coinciden en algunos aspectos con posturas modernas, on-ciben las entidades matemáticas como existentes de suyo, independientementedel hombre; están en la naturaleza, en el mundo circundante o en otro plano derealidad, por ello son susceptibles de conocerse.
Dentro de los descriptivistas se encuentran los que asumen una posición platónica, considerando que las matemáticas constituyen una realidad abstraída, noperceptible por los sent- esible mediante una s 6 facultad especial de larazó a «intuición i sentidos, sno accesible mediante una facultad especial de larazón denominada «intuición intelectual». Esto es, las entidades atemáticas noexisten en nuestro mundo sino en un mundo insustancial. También entre las aproximaciones descriptivistas existen propuestas que con-sideran que las matemáticas tienen una existencia propia dentro de nuestra rea-lidad material.
A éstas se les puede denominar empiristas y, dentro de éstas, existendos posiciones, como señala Alemán (2001 ), el empirismo radical, entre cuyospnncipales representantes se encuentran Maddy (1980) y T. Tymoczko (1991), yel empirismo holista, sostenido por Quine (1962). APROXIMACIOnE-S POSMOdERnIStAS En el Siglo surgen una serie de cuestionamientos en torno a la tendencia ab- olutista y fundacionalista de la matemática, los cuales permiten el desarrollo deotros enfoques de la naturaleza y del modo de proceder de la matemática.
Estasposturas, como señala Ernest (1994, pp. 33-34), provienen de un grupo de «in-conformes», como cakatos (1976, 1978), Aspray y Kitcher (1988), Davis y Hersh(1980) y Wittgenstein (1956), entre otros. Ello dio origen a nuevas perspectivasdenominadas de diversas maneras: posmodernas, cuasi empiricistas, dialógicas, falibilistas, no descriptivistas, etcétera. Ernest (1 994, p. 34) señala que estas aproximaciones cambian e intentaneliminar algunas de las dicotomías radicionales propuestas en la filosofía de lasmatemáticas, incluidas:l .
La afirmación de que el conocimiento matemático es a priori comoopuesto de a posteriori. 2. La afirmación de que el conocimiento matemático es analítico comoopuesto a sintético, en el sentido kantiano, y que es de naturaleza lógica. 3. La afirmación de que el conocimiento matemático involucra el c 6 6 naturaleza lógica. 3. La afirmación de que el conocimiento matemático involucra el contextode justificación como opuesto al contexto de descubrimiento. 4. La afirmación de que las matemáticas son monológicas como opuestas dialógicas. MosIehian (2004, pp. -5) argumenta que la aproxlmaclon posmoderna se caracteriza por negar las verdades absolutas basadas en la racionalidad. Igualmente refuta la objetividad, por ende, acepta la ambigüedad y el desorden, va delescepticismo al nihilismo, rechaza el determinismo y el dogmatismo, así como lasoposiciones bueno-malo, verdad-ficción y ciencia- mito. Esta posición desestimacualquier confianza ingenua en el progreso. EI conocimiento posmoderno tiene un carácter esencialmente plural, en elsentido de que las interpretaciones diversas, divergentes y contradictorias e in-conmensurables e contestan entre sí sin cancelarse mutuamente.
En el caso de las matemáticas, una interpretación posmoderna implica, entreotros aspectos, que el conocimiento matemático ha sido socialmente construido yes aceptado por motivos sociales en lugar de por cualquier sentido de verdad obje-tiva. Se admiten las contradicciones y paradojas, asimismo se reconoce que el ordenno es la base para el conocimiento, ni el desorden es enemigo de la verdad. El posmodernismo cuestiona la lógica aristotélica cuando ésta afirma quealgo puede ser falso o verdadero pero no ambos, y asume una lógica difusa en lacual las ecisiones se basan en «grados de verdad» en lugar de en «falso verda-dero».
Esta lógica difusa, argumenta Moslehian (2004, p. 4), es más parecida ala forma del razonamiento humano. Según esta perspectiva, el conocimiento secaracteriza por su utilidad y funcionalidad. Compartiendo estas premisas, el cuasi empirismo 7 6 su utilidad y funcionalidad. compartiendo estas premisas, el cuas emplnsmo concibe a las matemáticascomo una actividad socialmente construida y, por lo tanto, práctica, falible ysituada. Siguiendo a Lakatos (1976), Handal (2003) señala que las matemáticasson una reación humana que surge y es fomentada por la experiencia práctica,siempre creciendo y cambiando, abierta a la revisión.
Asimismo, subraya esteautor, los métodos son también dependientes del lugar y del tiempo, ya que dife-rentes culturas y d’ferentes personas tienen maneras diversas de hacer y validar su conocimiento matemático. En esta línea de pensamiento, Putnam (1986), citado por Handal (2003),argumenta que el poder de las matematicas reside no sólo en su habilidad parair mas allá del dominio de las entidades concretas y en la belleza de sus pruebas,sino en su poder para proporcionar soluciones útiles la confusión a la que seenfrenta el hombre en su intento de dominar la naturaleza. or otra parte, la perspectiva dialógica, de la cual, señala Ernest (1994, p. 38),forma parte el socio-constructivismo, manifiesta que las matemáticas son dialó-gicas de diversas maneras, entre ellas:l. Como una actividad primariamente textual y simbólica, por tanto, lasmatemáticas son necesariamente dialógicas 2. La clase sustancial de conceptos y contenidos matemáticos modernos sonconstitutivamente dialógicos o dialécticos. 3.
La dialéctica proporciona los orígenes de la prueba y de la lógica mate-mática en la Grecia antigua, así omo una fundación filosófica para con-cepciones modernas de lógica y prueba. 4. La epistemología y metodología de las matemáticas pueden ser tenidas encuenta de una manera explícita y constitutivamente dialéctica, haciendofrente tanto a la justificación del 8 6 una manera explícita y constitutivamente dialéctica, haciendofrente tanto a la justificación del conocimiento matemático objetivo comoa la ratificación del conocimiento personal.
En particular, esta última postura se basa fundamentalmente en el trabajo de Wittgenstein (1953, 1978) y Lakatos (1976, 1978). Wittgenstein (1953) ofrecelas bases de na teoría social del significado, del conocimiento y de las mate- máticas, que se apoyan en «juegos del lenguaje» dialógicos encajados en «formasde vida». Lakatos (1976), por otra parte, ofrece una filosofía multifacética y nocompletamente formulada de las matemáticas.
Pero el socioconstructivismo se Incluye también dentro de un programa fa- libilista , al igual que las matemáticas humanísticas (Moslehlan, 2004 y Brown,1 996, 2002). El humanismo en matemáticas fue introducido por Reuben Hersh(1979) y señala que la realidad matemática no es física ni mental y que lasentidades matemáticas no tienen sentido ni existencia ás allá de su significadocultural. para esta perspectiva, las matematicas son construidas, no descubiertas, yson contextuales, no fundacionales.
Este enfoque explora el lado humano delpensamiento matemático. Por otra parte, de acuerdo con la clasificación realizada por Alemán (2001 ,pp. 15-45), las perspectivas consideran las entidades matemáti-cas como producto de la actividad humana, teniendo en cuenta que sólo existencomo obra de la creación del hombre. Esta postura conlleva, a su vez, una distinción entre los intuicionistas Y los convencionalistas . Para los primeros existe l de construcciones encuentra Wittgenstein(1956), puede existir una gran variedad de construcciones lógico matemáticas.
A continuación se presenta un cuadro que resume las diferentes posturas, conservando las denominaciones dadas por los autores revisados. PRogRAMAS dE InvEStIgAclón En EdUcAclón MAtEMátlcA y SU RELAclón con LAS PostlJRAS En FILoSoFíA dE LAS MAtEMátlcAS Al igual que existen diferentes maneras de clasificar los acercamientos a la natu-raleza de las matemáticas, también encontramos una diversidad de modos deabordar las investigaciones en educación matemática, los cuales reflejan as dis-tintas posturas filosóficas acerca de las matemáticas.
Varios investigadores hanclasificado las investigaciones en educación matemática resaltando diferentesaspectos (por ejemplo: Fischbein, 1990; Moslehian, 2003, 2004; Sierpinska yl_erman, 1996; Dossey, 1992, y Ernest, 2004, entre otros). Así, por ejemplo, deacuerdo con la perspectiva de Fischbein (1990), las Investigaciones en educaciónmatemática podrían ubicarse en cuatro grandes tendencias:• La que considera la relación que existe entre procesamiento de información y la manera que tiene el sujeto para pensar, y de ahí las posibles aplica-ciones e las computadoras en el aprendizaje de las matemáticas.
Estatendencia analiza, por ejemplo, las semejanzas entre la forma de razona-miento del ser humano y la forma de programar las computadoras. • La constituida por los que asumen una posición constructivista, que partefundamentalmente de la postura de Piaget y trata de investigar la maneraen la que el individuo construye su propio conocimiento. • La que contempla la relación que existe entre los distintos aspectos de laactividad matemática, como el formal, el algoritmico y el intuitivo, considerando la intu 0 DF 26
