Fuentes de campo magnético

INTRODUCCIÓN El presente proyecto tiene como finalidad de explicar el comportamiento de la corriente eléctrica como fuente de campo magnético. Primero se habla acerca de la Ley de Biot-Savart para calcular el campo magnético que un elemento pequeño de corriente produce en un punto del espacio. Conociendo esto además del principio de superposición, se puede calcular el campo magnético total que producen diferentes distribuciones de corriente.

Posteriormente se explica como se determina la fuerza entre dos conductores que transportan una corriente, la cual stá asociada con la ley de Ampere; ésta última caracterizada por explicar que la circulación de la intensidad del campo magnético en un contorno cerrado es i ual a la corriente que lo recorre en ese contorno. Tambi ejemplificar de lo qu ey de Biot-Savart s ejercicios para OF12 Svipe nextp En el año 1819 el físico danés Hans Christian Oersted descubrió que si colocaba una brújula cerca de un alambre conductor, su aguja se desviaba al momento que pasaba una corriente eléctrica por el alambre.

De esta manera se descubrió que la corriente eléctrica era una fuente de campo magnético capaz de producir orque sobre la aguja de una brújula. Poco después, Jean-Baptiste Biot (1774 – 1862) y Félix savart (1791 – 1841) realizaron experimentos en relación a la fuerza ejercida por una una corriente eléctrica sobre un imán. Con los resultados obtenidos, ambos concluyeron en una expresión que da el valor del campo magnético en algún punto del espacio, en función de la corriente que dicho campo produce.

Cabe destacar que esta expresión se basa en las siguientes observaciones experimentales para el campo magnético en un punto p asociado con un elemento de longitud de un alambre por el que pasa una orriente estable l: El vector es perpendicular tanto a (que apunta en la dirección de la corriente) como al vector unitario r z, dirigido desde hacia p. La magnitud de es inversamente proporcional a r2, donde r es la distancia de a P.

La magnitud de es proporcional a la corriente y a la magnitud ds del elemento de longitud La magnitud de es proporcional a , donde es el ángulo entre los vectores y . Todo esto se resume a que el campo magnético en un punto P debido a un elemento de longitud que porta una corriente estable I es: Donde es la permeabilidad del espacio libre (equivalente a), r es a distancia desde el elemento hasta el punto P, y es un vector unitario que apunta desde hacia el punto P.

El campo total en P se encuentra al integrar esta expresión en toda la distribución de corriente, de modo que quede de esta manera: A pesar de que se desarrolla la ley de Biot-Savart para un alambre que conduce una corriente, también es válida para una corriente formada por cargas que fluyen a través del espacio, tal como el haz d 12 válida para una corriente formada por cargas que fluyen a través del espacio, tal como el haz de electrones en un cinescopio de televisión. En ese caso, representa la longitud de un segmento pequeño de espacio en el que fluyen las cargas.

Ejemplo Campo magnético alrededor de un conductor recto delgado: Considere un alambre recto delgado que porta una corriente constante ly está colocado a lo largo del eje x, como se muestra en la figura. Determine la magnitud y dirección del campo magnético en el punto p debido a esta corriente. La dirección del campo magnético en el punto P debido a la corriente en este elemento es hacia la derecha (desde el punto de vista del lector) de la página porque x es hacia la derecha.

De hecho, ya que todos los elementos de corriente I yacen en el plano de la página, todos producen un campo magnético dirigido a la derecha en el punto P. Por lo tanto, la dirección del campo magnético en el punto p es hacia la derecha y sólo es necesario encontrar la magnitud del campo Para encontrar la magnitud, primero buscamos los valores de r y ( x es negativo dado que se ubica en un valor negativo del eje x. Luego, evaluamos el producto cruz en la ley Biot-Savart: Sustituimos: Buscamos la derivada de dx: Sustituimos a r y dx en la 30F 12 campo: longitud en el alambre, donde los ángulos subtendidos varian de , como se definió en la parte b) de la figura: Podemos usar este resultado para encontrar el campo magnético de cualquier alambre recto portador de corriente si se conoce la geometría y por ende los ángulos y . Consideremos el caso especial de un alambre recto infinitamente largo.

Si el alambre en la figura se vuelve infinitamente largo, se ve que y para elementos de longitud que varían entre las posiciones y . Ya que , la ecuación se convierte en Ejemplo #2 Campo magnético en el eje de una espira de corriente circular: Considere una espira de alambre circular de radio a bicado en el plano yzy que porta una corriente estable I, como en la figura. Calcule el campo magnético en un punto axial p a una distancia x desde el centro de la espira.

La figura muestra la aportación al campo magnético en P debido a un solo elemento de corriente en lo alto del anillo. Este vector de campo se puede resolver en componentes x paralelo al eje del anillo y -L perpendicular al eje. Considere en las aportaciones al campo magnético de un elemento de corriente en la parte baja de la espira. Debido a la simetría de la situación, las componentes perpendiculares del campo debido a los elementos en las partes uperior e inferior del anillo se cancelan.

Esta cancelación se presenta para todos los pares de segmentos alrededor del anillo, de modo que se puede ignorar la componente perpendicul PAGF40F 12 pares de segmentos alrededor del anillo, de modo que se puede ignorar la componente perpendicular del campo y enfocarse exclusivamente en las componentes paralelas, que simplemente se suman. En esta situación cada elemento de longitud es perpendicular al vector en la ubicación del elemento. por lo tanto, para cualquier elemento, Además, todos los elementos de longitud alrededor e la espira están a la misma distancia r de P, donde r2=a2+x2.

Usamos la ecuación para encontrar la magnitud de debida a la corriente en cualquier elemento de longitud Buscamos la componente x del elemento del campo: Integramos a lo largo de la espira: Basándonos en la geometría, evaluamos : Sustituimos esta expresión para en la integral y nos damos cuenta que x, a y son todas constantes: Integramos alrededor de la espira: Finalmente, para encontrar el campo magnético en el centro de la espira, hacemos en la ecuación: Fuerzas Magnética entre d es Paralelos como se muestra en la figura.

De acuerdo con la ecuación, la fuerza magnética en un tramo de longitud del alambre 1 es . En vista de que en este caso es perpendicular a , la magnitud de es . Ya que la magnitud de está dada por la ecuación: La dirección de es hacia el alambre 2, debido a que va en esa dirección. Si se calcula el campo establecido por el alambre 1 sobre el alambre 2, se encontrará que la fuerza que actúa sobre el alambre 2 es de igual magnitud y de dirección opuesta a .

Cuando las corrientes se encuentran en direcciones opuestas (esto es, cuando en la figura se invierte una de las corrientes), las uerzas se invierten y los alambres se repelen. En consecuencia, conductores paralelos que llevan corrientes en una misma dirección se atraen, y conductores paralelos que llevan corrientes en direcciones opuestas se repelen. Debido a que es igual la magnitud de las fuerzas en ambos alambres, simplemente se señala la magnitud de la fuerza magnética entre alambres como .

Podemos volver a escribir esta magnitud en función de la fuerza por unidad de longitud: La fuerza entre dos alambres paralelos es utilizada para definir el ampere de esta manera: «Cuando es la magnitud de la fuerza or unidad de longitud presente entre dos alambres largos y paralelos que llevan corrientes idénticas y están separados 1 m, se define la corriente en cada alambre como 1 A». Ahora bien, la unidad del SI de carga, el coulomb, se define en función del 6 2 alambre como 1 A». unción del ampere: «Cuando un conductor lleva una corriente estable de 1 A, la cantidad de carga que fluye a través de la sección transversal del conductor durante Is es 1C. ey de Ampere poco después de los descubrimientos de Oersted, de Biot y de Savart, Ampàre encontró una relación útil entre las corrientes léctricas y los campos magnéticos. Esta relación se puede aplicar en situaciones de una alta simetría para encontrar el campo magnético con más facilidad que haciendo los cálculos con la ley de Biot-Savart. En cualquier caso, el resultado es el mismo.

A este respecto, utilizar la ley de Ampere es algo semejante a encontrar el campo eléctrico usando la ley de Gauss mejor que la ley de Coulomb. En casos de la falta de simetría apropiada, la ley de Ampàre no es fácil de aplicar. Siempre es válida, aun cuando la ley de Biot-Savart es necesaria algunas veces para cálculos del ampo magnético. La expresión dice que: la integral de línea de alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a, donde es la corriente total estable que pasa a través de cualquier superficie limitada por la trayectoria cerrada.

Ejemplo #1 Campo magnético creado por un alambre largo portador de corriente: Un alambre recto largo de radio R porta una corriente estable I que se distribuye uniformemente a través de la sección transversal d ‘cule el campo magn 7 2 distribuye uniformemente a través de la sección transversal del alambre. Calcule el campo magnético a una distancia r desde el entro del alambre en las regiones r à Ry r < R Debemos tener en cuenta que la corriente crea campos magnéticos en todas partes, tanto adentro como afuera del alambre.

Para el campo magnético exterior al alambre, escogemos para la trayectoria de integración el círculo 1 en la figura. A partir de la simetría, debe ser constante en magnitud y paralela a en todo punto sobre este circulo. Observamos que la corriente total que pasa a través del plano del círculo es y aplicamos la ley de Ampêre: Resolvemos para B: Ahora consideremos el interior del alambre, donde r < R En este aso la corriente l' que pasa a través del plano del círculo 2 es menor que la corriente total l.

Establezca la relación de la corriente I’ encerrada por el círculo 2 a la corriente total I Igual a la relación del área encerrada por el círculo 2 al área de sección transversal del alambre: Resolvemos para l: Aplicamos nuevamente la ley de Ampêre al círculo 2: El campo magnético exterior al alambre es idéntico en forma a la ecuación resultante del primer ejemplo de la ley de Biot- Savart. Como frecuentemente es el caso en situaciones con gran simetría, es mucho más fácil usar la ley de Ampere que la ley Biot- Savart. 0F 12 Ejemplo #2 Campo magné or un toroide: Un magnético creado por un toroide: Un dispositivo llamado toroide se usa con frecuencia para crear un campo magnético casi uniforme en algún área cerrada. El dispositivo consiste en un alambre conductor enrollado alrededor de un anillo (un toro) hecho de un material no conductor. Para un toroide que tiene N vueltas de alambre muy juntas una de otra, calcule el campo magnético en la región ocupada por el toro, a una distancia r del centro. Primero Estudie cuidadosamente la figura para entender cómo el alambre se enrolla alrededor del toro.

El toro podría ser un material sólido o podría ser aire, con un alambre rígido enrollado en la forma que se muestra en la figura para formar un toroide vacío. Considere la espira amperiana circular (espira 1) de radio r en el plano de la figura. Por simetría, la magnitud del campo es constante en este circulo y tangente a él, de modo que . Además, el alambre pasa a través de la espira N veces, de modo que la corriente total a través de la espira es NI. Aplicamos la ley de Ampere a la espira 1: Este resultado demuestra que B varía como l/ry por tanto no es niforme en la reglón ocupada por el toro.

Sin embargo, si r es muy grande en comparación con el radio de sección transversal a del toro, el campo es aproximadamente uniforme adentro del toro. Campo magnético en un solenoide Una importante configuración de corriente es la de un solenoide, el cual es un enrollado helicoidal que lleva un configuración de corriente es la de un solenoide, el cual es un enrollado helicoidal que lleva una corriente l. En la figura se ilustra el campo alrededor de un solenoide enrollado flojamente y su comportamiento es similar al del dipolo magnético.

El campo agnético del solenoide es la suma vectorial de los campos debido a cada espira casi circular que comprende el solenoide. Cuando la bobina está bien comprimida, el solenoide se asemeja a una corriente que fluye en forma cilíndrica. A medida que el solenoide se enrolla más apretadamente y su longitud se hace grande se tiene el caso de un solenoide ideal. En este caso, el campo magnético en el interior es uniforme y paralelo a su eje, y en el exterior el campo es aproximadamente cero. para hallar la magnitud del campo magnético dentro de un solenoide ideal se aplica la ley de Ampàre.

En la siguiente igura se ilustra un corte de un solenoide muy largo y una línea amperiana dada por la trayectoria rectangular abcd La integral a lo largo de este camino cerrado es igual a la suma de las integrales a lo largo de cada una de esos segmentos rectos: Las integrales a lo largo de los segmentos bc y da son cero por ser y vectores perpendiculares entre si. A lo largo de la trayectoria cd, que incluye la parte del rectángulo que está fuera del solenoide, la integral es cero puesto que vale cero para todos los puntos exteriores de un solenoide ideal. por lo tanto: para un solenoide con n e 0 DF 12