Tema 4: «Cálculo integral de funciones de una variable real» Título: «Integral definida y sus propiedades» Objetivos: Interpretar el concepto de integral definida, sus propiedades a partir de la solución del problema de determinar el área bajo una curva como un límite de sumas y su aplicación en el cálculo integral de fu Habilidades: 2 p 1. Interpretar el área jo de productos y aplica 2. Aplicar la definició nalítica sencilla. límite de sumas I cálculo de integrales con funciones de expresión analítica sencilla. 3. Aplicar las propiedades de la integral definida a la esolución de ejercicios 2 Sumario: 1 .
Antiderivadas. 2. Integración 3. El problema del área. 4. El problema de la distancia 5. Integral definida. 6. Propiedades y teoremas de la integral definida 5. Pág. 229 (La Integral definida) 4 Presentación del Tema «INTEGRACION DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL». Actividades y tiempo: El tema tiene un total del 5 actividades 5 conferencias, 9 clases prácticas y 1 seminario 5 Interpretar e identificar el concepto de integral definida. Calcular integrales definidas utilizando los teoremas fundamentales del cálculo integral y métodos proximados con interpretación geométrica sencilla.
Resolver ecuaciones diferenciales en variables separables como una aplicación inmediata de la integral indefinida. Resolver problemas geométricos (área entre curvas, volúmenes de sólidos de revolución y longitud de arco) y físicos (trabajo de una fuerza en una trayectoria rectilínea y masa de un alambre rectilíneo de grosor despreciable) mediante el uso de la integral definida. Determinar la convergencia o divergencia de una integral impropia de primera o de segunda especie. 6 Evaluación del tema. PE, Seminario y en Prueba Final
Conocimientos previos importante que deben dominar los estudi gor 20F 12 comprensión del tema «Félix Varela», Ciudad Habana, 2008. Complementaria a) «Cálculo con geometría analítica» E. Swokowski, tomos , II y III b) «Curso de matemáticas superiores para ingenieros» M. Krasnov y otros, tomos 1 y 2. c) «Cálculo diferencial e integral» Frank Ayres jr. Colección Schaum 8 Dos problemas centrales de la Matemática Pr oblema oblema de de determinar determinar la la recta recta nnn tangente tangente aa una una curva curv’a Cl n en un un punto punto del del plano plano pr oblema deno 30F 12 le llama lama norma norma de de la la partición? artición? Se llama norma de la partición Pla, b] y se denota como 5(P) a la longitud del mayor de los subintervalos que se forman con la partición dada. Es decir, ü máx máx ii L] 13 Definiciones preliminares a) a) Partición Partición de de un unintervalo intervalo Se ama partición partición del delintervalo intervalo a, PAGF40F 12 b] con subintervalos de igual amplitud 16 , i 01,2 Puntos extremos de la derecha de cada subintervalo I nao 17 18 ¿ Qué pasa si n n n ?
Definición (área de S) El área de la región S (x, Y) :ooy O f(X), a ox s el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximaci ón 12 partición un punto que se encuentre situado en el extremo izquierdo o derecho ó cualquier punto arbitrario x i* dentro del intervalo iésimo 0x i , es decir 25 A lím f (xl)nx f (x 2 Cl Clf(xn Matemática II 26 4. Que si el límite anterior 6 2 es independiente de la pa 3 32 Aqui se han utilizado las conocidas fórmulas : i 01 33 1.
Pruebe que se obtiene el mismo resultado en el ejemplo # 1 tomando como puntos de muestra el punto medio de cada subintervalo. 2. Estudiar por el texto en las páginas 374 a a 376 el Problema de la distancia con el objetivo de observar un tipo de límite similar al que se obtuvo en el cas 7 2 áreas V que, como veremo importantes 1. Si existe la integral definida de f entre ay b, entonces se dice que f es integrable según Riemann en [a, b]. 2.
EI símbolo es una «s» alargada y fue introducido por Leibniz para in dicar que la integral definida es un límite de sumas. 37 3. En el símbolo b : límite superior de integración a : límite inferior de integración f(x) : función integrando 38 3. A la suma f(x i que se presenta en la definición dada se le denomina suma e Riemann. 80F 12 ¿Cuándo f es integrable en un intervalo? Teorema 1 Si una función f es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. ?Diga si es integrable la función f(x) Ülnx en [1 ,5]? Argumente su respuesta. 42 Teorema 2 Si f es seccionalmente continua en [a, b], ¿ Es int egrable la función Dex para 0 Dx 21 definida por f(x) CID 01 para 1 En el int ? Argumentar su respuesta. 43 Interpretación geométrica del concepto de la integral definida a) Si f(x)>0 para toda x de [a, b]. b ni 01 n n 4iElCl no 256 DCI D 1) 02Cl 64 0 1) an non 1 n 2 Olím 6401 3201 232 nnnnn 50 0 DF 12
